フラクタル
今日は珍しく画像を多用。
フラクタルの基礎とは何なのでしょうか？教えてください。
簡単にフラクタルを説明してくれということですか？
それとも基礎的なフラクタルの例を示してくれということですか？
ちょっと質問が曖昧すぎるので、フラクタルそのものを説明することにします。
ざっくりといえば、自然界に現れる自己相似性を、同じ式の繰り返しで表現しようとする幾何学のことです。
自己相似性というと難しそうですが、たとえば木を考えましょう。
木の全体をみると、大きな幹に枝が付いて分岐し、だんだん細くなっていき、全体として茂っています。もっと小さく見ると、大きな枝には小さな枝がつき、同じようにだんだん細くなっていきます。
さらに小さく見ると、小さな枝には梢が付いてさらに細くなっていきます。もっと見て行くと、葉っぱの葉脈も太い物から細い物が出て分岐をくり返します。
このように、同じような規則性で出来ている物を「自己相似性がある」というわけです。
海岸線などもそうです。
地図上で見て複雑な地形は、実際に見ても複雑で、岩やその岩のくぼみ、くぼみの中の凸凹など、細かく見ていけばどんどん複雑になります。
この、規則的ではあるけれど、一般的な数学では説明できない物を説明するために生まれたのが、フラクタルの概念です。
よくフラクタルの象徴として紹介される「マンデルブロ集合」「ジュリア集合」は、フラクタルという概念を実際に式にして、その式をくり返すことで出来上がる幾何学図形です。
ちなみに語源はラテン語の「壊れた破片」、命名はマンデルブロという数学者です。
ティアラとも王冠とも見える。どこか適当に一部分を切り取って拡大すると、これと同じ物が出てくる。数学的には無限にこれが続いて行く。
こちらは回答の中にあるジュリア集合。
これがその拡大図。
画面上でわかりにくいかもしれないが、この二つの図形、どちらも小さく見ていけば見て行くほど、同じパターンがひたすら続くことで出来上がっていることに気付かされる。
視覚的に見るのが、フラクタルは一番わかりやすい。
「自己相似？ なんね、それは。子供は自分に似るってことかね？」
と思われた方も、たとえば下の絵を見せて、
「ほら、なんか巻貝みたいなのがありますけど、この巻貝を小さく見て行くと、同じ形の小さい巻貝でできてるでしょ」
と説明したら一発で理解できる。つまり、そういうことだ。
数学的な定義を理解しようとすると、当たり前だが高等数学が必要になる。一般的な高校数学では歯が立たない。
なにしろ、次元が整数ではない。
点がゼロ次元。
線が一次元。
面が二次元で、立体になると三次元。
少なくとも一般人はそう習って生きてきているし、ＳＦに多少興味があれば、時間を加えて「四次元時空」などと呼ぶことも知っているだろう。
だが、数学の世界では、次元というものは整数である必要がない。1.4次元などという表現が当たり前に出てくる恐ろしい世界だ。
フラクタルという概念では、この整数でない次元や、有限的な無限という概念がしょっちゅう出てくる。出てくるだけならまだしも、数学なのだから当然数式で表さなければならない。
上掲の画像だって、数学の式を画像処理しているに過ぎない。逆に言えば、数式ひとつであの複雑極まりない画像を描き出せるのだから素晴らしく美しい世界なのだが、数学が未知の世界という人間にとっては、「なんのこっちゃら」である。
だが、これを見て欲しい。
植物のシダ、のように見えるが、これは、直線の途中から何本か斜めに短い直線を延ばす、という至極単純なルールに従って描画されただけの線画である。
これが示すこと、それは、自然界もフラクタルでできている、ということだ。
最もわかりやすい例が雪や塩の結晶だろうか。
今は無き(いや、あるけど地に堕ちた)雪印のマーク、あれの元になっているのはもちろん雪の結晶だが、写真などでいくらでも見ることができるあの美しい結晶は、自然界が見せてくれるフラクタルの見本。
きちんと結晶化して降ってきた雪を顕微鏡でのぞくと、必ず規則正しいかたちをして、しかもどこか一部分を拡大すると、全体と同じような形をしている。形が自己相似系なのだ。
上の画像の「なんちゃってシダ」も、実際のシダが見事にフラクタルで説明できる形をしている証拠であり、人間ごときが数学でごちゃごちゃ理屈をこねなくとも、自然界には美しい論理があふれているという証拠でもある。
数学とは自然を記述する言語でもあるのだが、数学が全くわからない私などでも、こういう物を見せられると、「数学は美しい」といわれる理由がわかる気がする。
